你有没有想过，为什么一张 5MB 的 BMP 图片，转成 JPEG 后只有 200KB，而且肉眼几乎看不出区别？
在这个流量为王的时代，压缩算法是互联网的基石。没有它，我们的 5G 也会被抖音和 Netflix 瞬间塞爆。但压缩不仅仅是简单的“打包”（像 zip 那样），对于图像和音频来说，它的本质是一场关于“舍弃”的艺术。
今天我们不谈哈夫曼编码那种“无损”的统计学游戏，我们来聊聊有损压缩的核心灵魂：基变换（Basis Transformation）。
我们要聊的三位主角是：傅里叶变换 (DFT)、离散余弦变换 (DCT) 和 奇异值分解 (SVD)。它们都在做同一件事：换个角度看世界，然后把不重要的东西扔掉。
0. 核心思想：从“平铺”到“堆叠”
在一个未经压缩的灰度图像矩阵里，每个像素都是独立的。
- 空间域 (Spatial Domain)：你记录的是 $(1,1)$ 点是黑色，$(1,2)$ 点是白色… 这就像是在记录每一个乐高积木的位置。
- 频域 (Frequency Domain)：压缩算法认为，任何图片都不是杂乱无章的，而是由各种“波”叠加而成的。
压缩的逻辑很简单：
- 变换：不要用“像素坐标”来描述图片，改用“频率系数”。
- 集中：你会发现，图片的主要能量（大轮廓）都集中在几个特定的“低频”系数上。
- 截断：那些代表噪点和微小细节的“高频”系数，数值很小，直接归零也没人发现。
1. 傅里叶变换 (DFT)：理论的巨人
我们先请出欧拉和傅里叶。傅里叶变换告诉我们：任何周期函数都可以写成正弦波和余弦波的叠加。
对于数字图像，我们使用的是 离散傅里叶变换 (DFT)。
\[F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) e^{-j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})}\]它的压缩逻辑
把图片转到频域后，图像中心通常代表低频（大轮廓），四周代表高频（边缘/噪点）。如果你保留中心，切掉四周，再逆变换回去，图片依然清晰，只是边缘会变模糊。
为什么现在的图片压缩不用它？
DFT 虽然理论完美，但在工程上有两个致命伤：
- 复数运算：DFT 会产生虚部（复数），计算机存复数需要双倍空间（实部+虚部），这对于“压缩”这个目标来说是本末倒置。
- 吉布斯效应（Gibbs Phenomenon）：DFT 假设信号是周期的。如果图片左边是白的，右边是黑的，DFT 会认为这张图是无限循环的，导致在边界处产生剧烈的振铃效应（波纹）。
所以，DFT 是信号处理的祖师爷，但不是图像压缩的救星。
2. 离散余弦变换 (DCT)：JPEG 的心脏
为了解决 DFT 的问题，DCT 横空出世。它只使用余弦函数 (Cosine)，这让它成为了图像压缩的绝对王者（JPEG, H.264, MP3 都靠它）。
它是怎么做的？
DCT 的核心优势是能量集中（Energy Compaction）。它通常把图像切成 $8 \times 8$ 的小块来处理。
- 变换：对每个块做 DCT。你会得到一个 8x8 的系数矩阵。
- 左上角 (DC系数)：代表这个块的平均颜色（低频能量）。
- 右下角 (AC系数)：代表这个块里最尖锐的噪点和细节（高频能量）。
- 量化 (The Magic Trick)：
- 这是压缩发生的时刻！我们用一张“量化表”去除以这些系数。
- 结果：左上角的数字被保留，右下角的数字大概率变成了 0。
- 编码：利用 Z 字形扫描（Zigzag Scan），把那一连串的 0 变成简单的指令（比如“后面全是 0”），文件大小瞬间缩小。
为什么它比 DFT 强？
它全是实数运算（没有 $i$），而且它通过“镜像延拓”解决了边界不连续的问题，不会出现难看的波纹。这就是为什么 JPEG 图片只有在压缩率极高时才会出现“方块效应”，而通常情况下非常清晰。
3. 奇异值分解 (SVD)：矩阵的手术刀
如果说 DCT 是给所有图片准备的一套“通用积木”（标准的余弦波），那么 SVD 就是为每一张图片量身定做的“私人定制”。
线性代数告诉我们，任何矩阵 $A$ 都可以分解为三个矩阵的乘积：
\[A = U \Sigma V^T\]其中 $\Sigma$ 是一个对角矩阵，里面的数字 $\sigma_1, \sigma_2, \dots$ 叫作奇异值，按从大到小排列。
它是怎么压缩的？
奇异值的大小代表了信息的重要程度。
- 最大的奇异值 $\sigma_1$ 代表了图像最主要的特征（主骨架）。
- 后面的奇异值代表了越来越细微的纹理。
低秩近似 (Low Rank Approximation)：
我们不需要保留所有的奇异值。我们只保留前 $k$ 个最大的奇异值，就能还原出图像的大概样子。
\[A_{compressed} \approx \sigma_1 u_1 v_1^T + \sigma_2 u_2 v_2^T + \dots + \sigma_k u_k v_k^T\]SVD vs. DCT
- DCT 的基是固定的：所有图片都用同一套余弦波来拼。计算极快，适合通用标准（如 JPEG）。
- SVD 的基是计算出来的：$U$ 和 $V$ 取决于图片本身。它是数学上最优的低秩逼近，但计算量巨大（$O(N^3)$）。
所以 SVD 通常不用于通用的图像存储，但它在去噪、推荐系统（Netflix 算法）和降维（PCA）里是大神级的存在。
4. 小波变换 (DWT)：把“频率”装进不同尺度的放大镜
DFT/DCT 的“频率”是全局的：一个系数会影响整张图。对图像来说，这会带来一个天然矛盾：我们既想知道“有哪些频率”，又想知道“这些频率出现在哪里”。
小波变换 (Wavelet Transform) 的核心想法是：不用无限长的正弦波，而用一段短小、可伸缩、可平移的“波包”（母小波）去匹配信号，从而得到时空/局部化的表示。
它在图像里长什么样？
工程上最常用的是 离散小波变换 (DWT)：用滤波器组把图像分解成不同“尺度”的子带。
对一张图做一次 2D-DWT，你会得到四块信息：
- LL：低频里的低频（大轮廓，最重要）
- LH / HL / HH：不同方向的细节（边缘、纹理、噪声）
然后你就可以像 DCT 一样做“舍弃”：
- 保留 LL（或者对 LL 继续分解，做多层金字塔）
- 阈值化/量化 高频子带（把小系数直接变 0）
- 编码：因为大量系数会变成 0，后续熵编码会很吃香
为什么它常被拿来对标 DCT？
- 更少块效应：DCT 以 $8 \times 8$ 为单位，压狠了会出现方块；DWT 是多尺度分解，往往更平滑自然（但压到极致也可能出现“振铃/波纹”）。
- 多分辨率/渐进传输：先看 LL 得到模糊预览，再逐步补上细节，非常适合“边下边看”。
- 代表选手：JPEG 2000：它用的就是小波（注意它不是传统 JPEG 的升级版，而是另一条路线）。
总结：该选谁？
| 算法 | 核心武器 | 优点 | 缺点 | 应用场景 |
|---|---|---|---|---|
| DFT | 复指数 $e^{i\theta}$ | 物理意义明确，便于分析 | 产生复数，边界有伪影 | 信号分析、滤波 |
| DCT | 余弦 $\cos$ | 全是实数，能量集中度极高 | 块效应（压缩太狠时有方块） | JPEG, MP3, 视频编码 |
| SVD | 特征分解 $U\Sigma V^T$ | 数学上的最优逼近，私人定制 | 计算极其昂贵，还需要存 U 和 V | 降维、去噪、推荐系统 |
| DWT | 多尺度滤波器组 | 局部化、多分辨率、块效应更少 | 实现与边界处理更复杂 | JPEG 2000、去噪、特征提取 |
压缩的本质，不是要把世界变小，而是要学会分辨：什么是信号，什么是噪音。
DCT 告诉我们：只要留住低频的轮廓，人类的大脑就会自动补全剩下的细节。这不仅仅是数学，更是对人类感知系统的深刻洞察。
Happy Coding & Compression!
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